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\lhead{ \Large{EXERCICES MPSI}}\chead{ \LARGE {A2. GÉOMÉTRIE}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}
\input{tcilatex}

\begin{document}


I SYST\`{E}MES LIN\'{E}AIRES

\begin{enumerate}
\item Donner un exemple de syst\`{e}me de 3 \'{e}quations \`{a} 5 inconnues
d'ind\'{e}termination 3 et compatible ; le r\'{e}soudre.

\item : R\'{e}soudre et discuter le syst\`{e}me param\'{e}trique : $\left\{ 
\begin{array}{l}
x+y+mz=m \\ 
x+my-z=1 \\ 
x+y-z=1%
\end{array}
\right. $

\item :

\begin{enumerate}
\item R\'{e}soudre et discuter le syst\`{e}me param\'{e}trique : 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{l}
ax+y+z=\alpha \\ 
x+ay+z=\beta \\ 
x+y+az=\gamma%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
Remarque : une m\'{e}thode possible consiste \`{a} introduire l'inconnue
auxiliaire $t=x+y+z.$

\item * G\'{e}n\'{e}raliser au syst\`{e}me $\left\{ \forall i\in \left[
\left\vert 1,n\right\vert \right] \quad ax_{i}+\underset{\underset{j\neq i}{%
1\leqslant j\leqslant n}}{\overset{}{\sum }}x_{j}=\alpha _{i}\right. .$
\end{enumerate}

\item : Trouver une fonction polynomiale impaire dont la courbe repr\'{e}%
sentative passe par les points $\left( 1,1\right) $ et $\left( 2,0\right) ,$
et poss\`{e}de une tangente horizontale en $\left( 1,1\right) .$ Etudier
cette fonction et tracer sa courbe.

Rep : $f\left( x\right) =\dfrac{28x-11x^{3}+x^{5}}{18}.$

\item : \'{E}quilibrer les r\'{e}actions chimiques : 
\begin{eqnarray*}
x_{1}IO_{3}^{-}+x_{2}\left( C_{5}H_{11}O_{5}-COH\right) +x_{3}OH^{-}
&=&x_{4}I^{-}+x_{5}\left( C_{5}H_{11}O_{5}-CO_{2}^{-}\right) +x_{6}H_{2}O \\
x_{1}KMnO_{4}+x_{2}H_{2}SO_{4}+x_{3}KBr
&=&x_{4}K_{2}SO_{4}+x_{5}Br_{2}+x_{6}MnSO_{4}+x_{7}H_{2}O
\end{eqnarray*}

Rep 1 : 1, 3, 3, 1, 3, 3 ; Rep 2 : 2, 8, 10, 6, 5, 2, 8.

\item * :

\begin{enumerate}
\item Montrer que dans tout triangle $ABC,$ on a : 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
a=b\cos C+c\cos B \\ 
b=c\cos A+a\cos C \\ 
c=a\cos B+b\cos A%
\end{array}
\right.
\end{equation*}

\item Dans cette question, on consid\`{e}re que les inconnues du syst\`{e}me
ci-dessus sont $\cos A,\cos B,\cos C.$ \textit{A priori, }le syst\`{e}me
est-il d\'{e}termin\'{e} ou ind\'{e}termin\'{e} ? Le r\'{e}soudre.

\item Maintenant les inconnues sont $a,b,c.$ Quel est \textit{a priori }%
l'ordre de l'ind\'{e}termination ? R\'{e}soudre le syst\`{e}me.\newline
\end{enumerate}

\item * : Rectangles de carr\'{e}s

\begin{enumerate}
\item 
\begin{tabular}{l}
\FRAME{itbpF}{197.5625pt}{180.3125pt}{0pt}{}{}{Figure }{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "T";width 197.5625pt;height 180.3125pt;depth
0pt;original-width 192.8125pt;original-height 175.8125pt;cropleft
"0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
'I2YU1Z00.wmf';tempfile-properties "XPR";}}%
\end{tabular}
\newline
D\'{e}terminer les dimensions de ce rectangle, sachant que, contrairement
aux apparences, il n'est form\'{e} que de carr\'{e}s, et que le plus petit
carr\'{e} est un carr\'{e} de c\^{o}t\'{e} 1 ; reproduire la figure exacte.

\item Idem pour ce rectangle, o\`{u} le plus petit carr\'{e} est de c\^{o}t%
\'{e} 3.%
\begin{tabular}{l}
\FRAME{itbpF}{3.0643in}{2.313in}{0in}{}{}{Figure}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "T";width 3.0643in;height 2.313in;depth
0in;original-width 2.8991in;original-height 2.1818in;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
'I7OHIL02.wmf';tempfile-properties "XPR";}}%
\end{tabular}
\end{enumerate}

\item *:

\begin{enumerate}
\item Compl\'{e}ter le carr\'{e} magique : $%
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$a$ &  & $c$ \\ \hline
& $b$ &  \\ \hline
&  &  \\ \hline
\end{tabular}%
$

(somme des chaque ligne=sommme de chaque diagonale = somme de chaque colonne)

\item Compl\'{e}ter le carr\'{e} magique : $%
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
& $a$ &  \\ \hline
$b$ &  & $c$ \\ \hline
&  &  \\ \hline
\end{tabular}%
$

\item Compl\'{e}ter le carr\'{e} magique : $%
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
&  &  \\ \hline
$a$ & $b$ & $c$ \\ \hline
&  &  \\ \hline
\end{tabular}%
$

\item Compl\'{e}ter le carr\'{e} magique : $%
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$a$ & $c$ &  \\ \hline
$b$ &  &  \\ \hline
&  &  \\ \hline
\end{tabular}%
$

II\ \textbf{POINTS ET VECTEURS}
\end{enumerate}

\item * :

\begin{enumerate}
\item R\'{e}soudre le syst\`{e}me d'\'{e}quations lin\'{e}aires : 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
x_{1}+x_{2}=2\alpha _{1} \\ 
x_{2}+x_{3}=2\alpha _{21} \\ 
\vdots \\ 
x_{n-1}+x_{n}=2\alpha _{n-1} \\ 
x_{n}+x_{1}=2\alpha _{n}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

\item En d\'{e}duire le r\'{e}sultat g\'{e}om\'{e}trique suivant : \newline
Soient $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ $n$ points fixes. Soit $M_{1}$ un point
variable, $M_{2}$ son sym\'{e}trique par rapport \`{a} $A_{1},$ $M_{3}$ le
sym\'{e}trique de $M_{2}$ par rapport \`{a} $A_{2}$ etc... $M_{n+1}$ le sym%
\'{e}trique de $M_{n}$ par rapport \`{a} $A_{n}.$ On souhaite que $M_{n+1}$
soit \'{e}gal \`{a} $M_{1}.$\newline
Montrer que

\begin{itemize}
\item si $n$ est pair, ceci n'est possible que si la condition $%
\overrightarrow{A_{1}A_{2}}+\overrightarrow{A_{3}A_{4}}+\cdots +%
\overrightarrow{A_{n-1}A_{n}}=\overrightarrow{0}$ est r\'{e}alis\'{e}e, et
alors tout point $M_{1}$ convient.

\item si $n$ est impair, il n'y a pas de condition sur les $A_{i},$ mais il
y a un unique point $M_{1}$ qui convient.
\end{itemize}
\end{enumerate}

III) \textbf{DROITES ET PLANS.}

$\mathbb{E}_{3}$ est suppos\'{e} rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re quelconque.

\item :

\begin{enumerate}
\item Que dire des plans $P$ : $\left\{ 
\begin{array}{c}
x=2+\lambda +2\mu \\ 
y=2+2\lambda +\mu \\ 
z=1-\lambda -\mu%
\end{array}%
\right. $ et $Q:\left\{ 
\begin{array}{c}
x=1+3\lambda -\mu \\ 
y=3+3\lambda +\mu \\ 
z=1-2\lambda%
\end{array}%
\right. $ ?

\item Donner un point et un vecteur directeur de l'intersection des plans $P$
: $\left\{ 
\begin{array}{c}
x=2+\lambda +2\mu \\ 
y=2+2\lambda +\mu \\ 
z=1-\lambda -\mu%
\end{array}%
\right. $ et $R:\left\{ 
\begin{array}{c}
x=1+\lambda -\mu \\ 
y=3+\lambda +\mu \\ 
z=1-\lambda%
\end{array}%
\right. $.
\end{enumerate}

\item : D\'{e}terminer $a$ pour que les droites $D$ dirig\'{e}e par $%
\overrightarrow{u}\left( 1,-1,0\right) $ passant par $A\left( a,1,0\right) $
et $E$ dirig\'{e}e par $\overrightarrow{v}\left( 1,1,1\right) $ passant par $%
B\left( 1,1,a\right) $ soient s\'{e}cantes ; donner alors les coordonn\'{e}%
es du point d'intersection.

\item : D\'{e}terminer l'\'{e}quation du plan $P$ passant par $A\left(
0,1,-2\right) $ et $B\left( -1,2,3\right) $ et parall\`{e}le \`{a} la droite 
$D\left\{ 
\begin{array}{c}
x+y+z=1 \\ 
x-2y-z=0%
\end{array}%
\right. .$

Rep : $13x-2y+3z=-8.$

\item : $\mathcal{D}_{1}$ et $\mathcal{D}_{2}$ sont deux droites non
coplanaires de $\mathbb{E}_{3}.$

\begin{enumerate}
\item \underline{D\'{e}montrer} qu'il existe un unique couple de plans $%
\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ parall\`{e}les contenant
respectivement $\mathcal{D}_{1}$ et $\mathcal{D}_{2}.$

\underline{A. N.} : 
\begin{equation*}
\mathcal{D}_{1}\left\vert 
\begin{array}{c}
x+y+z=2 \\ 
x-y+z=0%
\end{array}%
\right. \quad ;\;\mathcal{D}_{2}\left\vert 
\begin{array}{c}
x+y-z=1 \\ 
x-y+z=1%
\end{array}%
\right. \;
\end{equation*}%
D\'{e}terminer les \'{e}quations cart\'{e}siennes de $\mathcal{P}_{1}$ et $%
\mathcal{P}_{2}$.

\item \underline{D\'{e}montrer} que si $A$ est un point n'appartenant ni 
\`{a} $\mathcal{P}_{1}$ ni \`{a} $\mathcal{P}_{2},$ il existe une unique
droite $\mathcal{D}$ passant par $A$ et rencontrant $\mathcal{D}_{1}$ et $%
\mathcal{D}_{2}.$ Quel est donc l'ensemble r\'{e}union des droites
rencontrant $\mathcal{D}_{1}$ et $\mathcal{D}_{2}$ ?

\underline{A. N.} : $A\left\vert 
\begin{array}{c}
2 \\ 
1 \\ 
1%
\end{array}%
\right. ;$ donner un syst\`{e}me d'\'{e}quations cart\'{e}sienne de $%
\mathcal{D}$ et les coordonn\'{e}es des points $B_{1}$ et $B_{2}$ tels que $%
\mathcal{D}\cap \mathcal{D}_{1}=\{B_{1}\}$ et $\mathcal{D}\cap \mathcal{D}%
_{2}=\{B_{2}\}$ $.$

\item \underline{D\'{e}montrer} que si $\overrightarrow{u}$ est un vecteur
non parall\`{e}le \`{a} $\mathcal{P}_{1},$ il existe une unique droite $%
\mathcal{E}$ dirig\'{e}e par $\overrightarrow{u}$ et rencontrant $\mathcal{D}%
_{1}$ et $\mathcal{D}_{2}.$

\underline{A. N.} : $\overrightarrow{u}\left\vert 
\begin{array}{c}
0 \\ 
0 \\ 
1%
\end{array}%
\right. ;$ donner un syst\`{e}me d'\'{e}quations cart\'{e}sienne de $%
\mathcal{E}$ et les coordonn\'{e}es des points $C_{1}$ et $C_{2}$ tels que $%
\mathcal{E}\cap \mathcal{D}_{1}=\{C_{1}\}$ et $\mathcal{E}\cap \mathcal{D}%
_{2}=\{C_{2}\}$ $.$

R\'{e}p : $\mathcal{P}_{1}$ : $x-y+z=0$ ; $\mathcal{P}_{2}$ : $x-y+z=1$ ; $%
\mathcal{D}$ : $y=z=1$ ; $B_{1}\left\vert 
\begin{array}{c}
0 \\ 
1 \\ 
1%
\end{array}%
\right. $ ; $B_{2}\left\vert 
\begin{array}{c}
1 \\ 
1 \\ 
1%
\end{array}%
\right. ;\mathcal{E}:x=y=1;C_{1}\left\vert 
\begin{array}{c}
1 \\ 
1 \\ 
0%
\end{array}%
\right. $ ;$C_{2}\left\vert 
\begin{array}{c}
1 \\ 
1 \\ 
1%
\end{array}%
\right. .$
\end{enumerate}

\item : Une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\left\vert 
\begin{array}{c}
1 \\ 
2 \\ 
1%
\end{array}%
\right. $ rencontre la droite $\mathcal{D}_{1}:\left\{ 
\begin{array}{l}
x=1+\lambda \\ 
y=3+\lambda \\ 
z=-\lambda%
\end{array}%
\right. $ en $A$ et la droite $\mathcal{D}_{2}:\left\{ 
\begin{array}{l}
x=-1+2\lambda \\ 
y=1 \\ 
z=1-\lambda%
\end{array}%
\right. $ en $B$ ; d\'{e}terminer $A$ et $B.$

\item * : On donne les droites : $\mathcal{D}_{1}:\left\{ 
\begin{array}{l}
y=x-2 \\ 
z=1%
\end{array}%
\right. ,\mathcal{D}_{2}:\left\{ 
\begin{array}{l}
y=2x+3 \\ 
z=0%
\end{array}%
\right. ,\mathcal{D}_{3}:\left\{ 
\begin{array}{l}
y=-x+1 \\ 
z=-1%
\end{array}%
\right. .$

\begin{enumerate}
\item A quel plan sont elles parall\`{e}les ?

\item \underline{D\'{e}montrer} que les droites qui rencontrent ces 3
droites restent parall\`{e}les \`{a} un plan $\mathcal{P}$ passant par $O.$

\item D\'{e}montrer que si $\mathcal{Q}$ est un plan non parall\`{e}le \`{a} 
$\mathcal{P}$, il existe une unique droite rencontrant $\mathcal{D}_{1}$, $%
\mathcal{D}_{2}$ et $\mathcal{D}_{3}$ et parall\`{e}le \`{a} $\mathcal{Q}$.

\underline{A. N.} : $\mathcal{Q}$ : $2x+4y-3z=0.$
\end{enumerate}

Rep : $\left\{ 
\begin{array}{l}
x=16\lambda +\dfrac{1}{4} \\ 
y=-5\lambda +\dfrac{7}{2} \\ 
z=4\lambda%
\end{array}%
\right. .$

V) APPLICATIONS DU PLAN ET DE L'ESPACE.

\item : Le plan est rapport\'{e} au rep\`{e}re $\mathcal{R}=\left( O,%
\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right) .$ Donner les expressions
analytiques de :

\begin{enumerate}
\item La projection sur la droite $y=-2x+1$ parall\`{e}lement \`{a} $y=3x.$

\item La sym\'{e}trie par rapport \`{a} la droite $y=-2x+1$ parall\`{e}%
lement \`{a} $y=3x.$

\item L'homoth\'{e}tie ou la translation qui envoie $A\left\vert 
\begin{array}{c}
1 \\ 
2%
\end{array}%
\right. $ sur $A^{\prime }\left\vert 
\begin{array}{c}
\alpha \\ 
4%
\end{array}%
\right. $ et $B\left\vert 
\begin{array}{c}
5 \\ 
6%
\end{array}%
\right. $ sur $B^{\prime }\left\vert 
\begin{array}{c}
7 \\ 
6%
\end{array}%
\right. $ (on d\'{e}terminera $\alpha ).$

Rep : a) $%
\begin{array}{ccc}
3/5 & -1/5 & 1/5 \\ 
-6/5 & 2/5 & 3/5%
\end{array}%
$ b) $%
\begin{array}{ccc}
1/5 & -2/5 & 2/5 \\ 
-12/5 & -1/5 & 6/5%
\end{array}%
$c)$%
\begin{array}{ccc}
1/2 & 0 & 9/2 \\ 
0 & 1/2 & 3%
\end{array}%
\alpha =5.$
\end{enumerate}

\item : L'espace est rapport\'{e} \`{a} $\mathcal{R}=\left( O,%
\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right) .$ Donner
l'expression analytique dans $\mathcal{R}$ de :

\begin{enumerate}
\item La projection sur le plan $x+y+z=1,$ parall\`{e}lement \`{a} $%
\left\vert 
\begin{array}{c}
1 \\ 
2 \\ 
3%
\end{array}%
\right. .$

\item La projection sur la droite $\left\vert 
\begin{array}{c}
x=\lambda +1 \\ 
y=2\lambda +1 \\ 
z=3\lambda -1%
\end{array}%
\right. $ parall\`{e}lement \`{a} $x+y+z=0.$

\item La sym\'{e}trie par rapport \`{a} $\ x+y+z=1$ parall\`{e}lement \`{a} $%
\left\vert 
\begin{array}{c}
1 \\ 
2 \\ 
3%
\end{array}%
\right. .$

\item La sym\'{e}trie par rapport \`{a} $\left\{ 
\begin{array}{c}
x=\lambda +1 \\ 
y=2\lambda +1 \\ 
z=3\lambda -1%
\end{array}%
\right. $ parall\`{e}lement \`{a} $x+y+z=0.$

rep: a)$%
\begin{array}{cccc}
5/6 & -1/6 & -1/6 & 1/6 \\ 
-1/3 & 2/3 & -1/3 & 1/3 \\ 
-1/2 & -1/2 & 1/2 & 1/2%
\end{array}%
$b)$%
\begin{array}{cccc}
1/6 & 1/6 & 1/6 & 5/6 \\ 
1/3 & 1/3 & 1/3 & 2/3 \\ 
1/2 & 1/2 & 1/2 & -3/2%
\end{array}%
$c) $%
\begin{array}{cccc}
2/3 & -1/3 & -1/3 & 1/3 \\ 
-2/3 & 1/3 & -2/3 & 2/3 \\ 
-1 & -1 & 0 & 1%
\end{array}%
$
\end{enumerate}

\item : On donne ci-dessous les expressions analytiques d'une application $f$
du plan ; on demande de d\'{e}terminer la nature g\'{e}om\'{e}trique et les 
\'{e}l\'{e}ments caract\'{e}ristiques de l'application $f.$%
\begin{eqnarray*}
\mathbf{a} &:&\left\{ 
\begin{array}{c}
x^{\prime }=x+1 \\ 
y^{\prime }=y+3%
\end{array}%
\right. \;;\;\mathbf{b}:\left\{ 
\begin{array}{c}
x^{\prime }=-2x+1 \\ 
y^{\prime }=-2y+3%
\end{array}%
\right. \;;\;\mathbf{c}:\left\{ 
\begin{array}{c}
x^{\prime }=x \\ 
y^{\prime }=-y+3%
\end{array}%
\right. \;;\; \\
\mathbf{d} &:&\left\{ 
\begin{array}{c}
x^{\prime }=x \\ 
y^{\prime }=x+1%
\end{array}%
\right. \;;\;\mathbf{e}:\left\{ 
\begin{array}{c}
x^{\prime }=x \\ 
y^{\prime }=2x-y+2%
\end{array}%
\right. ;\mathbf{\ }
\end{eqnarray*}

\item M\^{e}mes questions que 17., mais dans l'espace : 
\begin{equation*}
\mathbf{a}:\left\{ 
\begin{array}{c}
x^{\prime }=x+1 \\ 
y^{\prime }=y+1 \\ 
z^{\prime }=z+1%
\end{array}%
\right. \;;\;\mathbf{b}:\left\{ 
\begin{array}{c}
x^{\prime }=x \\ 
y^{\prime }=-y+1 \\ 
z^{\prime }=-z+1%
\end{array}%
\right. \;;\;\mathbf{c}:\left\{ 
\begin{array}{c}
x^{\prime }=x \\ 
y^{\prime }=y \\ 
z^{\prime }=-z+1%
\end{array}%
\right. \;;\;
\end{equation*}

\item * : Le plan est rapport\'{e} au rep\`{e}re $\mathcal{R}=\left( O,%
\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right) .$

D\'{e}montrer que les courbes $C_{1}$ d'\'{e}quation $y=\cos x$ et $C_{2}:$ $%
y=\cos ^{2}x$ sont homoth\'{e}tiques. On pr\'{e}sentera la d\'{e}monstration
sous la forme : $M\left( x,y\right) \in C_{2}\Leftrightarrow h\left(
M\right) \in C_{1},$ o\`{u} $h$ est une homoth\'{e}tie dont on donnera les
caract\'{e}ristiques.

\item : Les dilatations (ou affinit\'{e}s).

Soient dans le plan $D$ et $D^{\prime }$ deux droites s\'{e}cantes ; la
dilatation de base $D,$ de direction $D^{\prime }$ et de rapport $k$ est
l'application qui \`{a} $M$ fait correspondre $M^{\prime }$ d\'{e}fini par $%
\overrightarrow{IM^{\prime }}=k\overrightarrow{IM},$ o\`{u} $I$ est le projet%
\'{e} de $M$ sur $D$ parall\`{e}lement \`{a} $D^{\prime }.$

\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que les projections et sym\'{e}tries sont des dilatations
particuli\`{e}res.

\item V\'{e}rifier que si $k\neq 1,$ $\overrightarrow{OI}=\dfrac{k%
\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OM^{\prime }}}{k-1}.$

\item Donner l'expression analytique de la dilatation de base $y=-2x+1$ , de
direction $y=3x$ et de rapport $2.$

\item Donner l'expression analytique de la compos\'{e}e de la dilatation de
base $\left( Oy\right) $ de direction $\left( Ox\right) $ de rapport $k_{1},$
avec la dilatation de base $\left( Ox\right) $ de direction $\left(
Oy\right) $ et de rapport $k_{2}.$

\item * D\'{e}montrer que faire subir \`{a} la courbe $y=e^{x}$ une
translation de vecteur $\lambda \overrightarrow{i},$ revient \`{a} lui faire
subir une dilatation.

\item * D\'{e}montrer que faire subir \`{a} la parabole $y=x^{2}$ une
dilatation de base $\left( Oy\right) $ et de direction $\left( Ox\right) $
revient \`{a} lui faire subir une homoth\'{e}tie, mais que en revanche, il
n'en va pas de m\^{e}me pour la courbe $y=\limfunc{ch}x-1$ (qui ressemble
pourtant \`{a} $y=x^{2}$).
\end{enumerate}

\item : Soit dans l'espace, $P$ un plan s\'{e}cant \`{a} une droite $D$ en
un point $O$ ; $S_{O}$ la sym\'{e}trie par rapport \`{a} $O,S_{D}$ la sym%
\'{e}trie par rapport \`{a} $D$ parall\`{e}lement \`{a} $P,$ $S_{P}$ la sym%
\'{e}trie par rapport \`{a} $P$ parall\`{e}lement \`{a} $D.$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer les compos\'{e}es $S_{D}\circ S_{O}$ et $S_{O}\circ
S_{D}$ ; en d\'{e}duire qu'un objet born\'{e} ne peut avoir un axe et un
centre de sym\'{e}trie sans avoir aussi un plan de sym\'{e}trie.

\item En d\'{e}duire les compos\'{e}es $S_{P}\circ S_{O}$ et $S_{O}\circ
S_{P}$ ; en d\'{e}duire qu'un objet born\'{e} ne peut avoir un plan et un
centre de sym\'{e}trie sans avoir aussi un axe de sym\'{e}trie.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
